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二面角的有关计算+解析几何

  2019-09-20来源:网络

  原标题:二面角的有关计算+解析几何

2013年5月12345670的高中数学组卷
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2013年5月12345670的高中数学组卷
一.选择题(共30小题)1.半径为1的球面上有A、B、C三点,其中点A与B、C两点间的球面距离均为为A.,则球心到平面ABC的距离为(B.)C.D.,B、C两点间的球面距离均
2.正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为2:3,则此三棱锥的高与斜高之比为()A.B.C.D.
3.已知α㧟l㧟β是大小为45°的二面角,C为二面角内一定点,且到半平面α和β的距离分别为别是半平面α,β内的动点,则△ABC周长的最小值为()A.B.C.15D.
和6,A、B分
4.如图,在正三棱柱ABC㧟A1B1C1中,AB=2,若二面角C㧟AB㧟C1的大小为60°,则异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
5.如图的正方体ABCD㧟A′C′中,二面角D′B′D′㧟AB㧟D的大小是(

A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
6.已知正方形ABCD沿其对角线AC将△ADC折起,设AD与平面ABC所成的角为β,当β取最大值时,二面角B㧟AC㧟D的大小为()A.120°B.90°C.60°D.45°
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www.jyeoo.com7.如图,为直二面角α㧟MN㧟β的棱MN上的一点,O射线OE,分别在α,内,EON=∠OFβ且∠FON=45°,EOF则∠的大小为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°,到l的距离为4,则二面角α㧟l㧟β的
8.如图,已知锐二面角α㧟l㧟β,A为α面内一点,A到β的距离为大小为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
9.在直二面角α㧟l㧟β中,A∈α,B∈β,A,B都不在l上,AB与α所成角为x,AB与β所成角为y,AB与l所成角为z,则cosx+cosy+sinz的值为(A.B.2
222
)C.3D.
10.已知二面角α㧟l㧟β的大小为50°,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α,β所成的角都是25°的直线的条数为()A.2B.3C.4D.511.平面α与平面β相交成一个锐二面角θ,平面α上的一个圆在平面β上的射影是一个离心率为的椭圆,则θ等于(A.30°)B.45°C.60°D.75°)
12.正三棱锥P㧟ABC内接于半球O,底面ABC在大圆面上,则它相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为(A.B.C.D.
13.已知E,F分别是正方体ABCD㧟A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()
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www.jyeoo.comA.B.C.D.
14.正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为a,侧面与底面的二面角的平面角为β,则cosα+cosβ的值是()A.0B.2C.1D.
2
15.PA、PB、PC两两垂直;②到△PABC三边的距离相等;③BC,PB⊥PA⊥AC;④PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等;⑤平面PBC、PAB、PAC与平面ABC所成的锐二面角相等;⑥PA=PB=PC;⑦PAB=∠∠PAC,∠PBA=∠PBC,∠PCB=∠PCA;⑧面PBO,AB⊥PCO.若在上述8个序号中任意取出两个作为条件,其中一个一定能得出OAC⊥面为△ABC的垂心、另一个一定能得出O为△ABC的外心的概率为()A.B.C.D.
16.一条长为10厘米的线段两端分别在一个直二面角的两个平面内,且与二面角的两个面所成角的正弦值分别为和,则这条线段在这个直二面角的棱上的射影长为()
A.
B.
C.
D.7cm
17.(理科做)如右图,多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB1C1D1而截得的,BB1=DD1,且已知截面AB1C1D1与底面成30°的二面角,AB=1,则这个多面体的体积为()
A.
B.
C.
D.
18.如图,已知平面α⊥平面β,A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA?β,CB?β,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,在平面α内有一个动点P,使得∠APD=∠BPC,则△PAB的面积的最大值是()
A.12
B.24
C.32
D.48
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www.jyeoo.com19.二面角α㧟l㧟β的平面角为120°,在面α内,AB⊥于B,AB=2在平面β内,CD⊥于D,CD=3,BD=1,Mll是棱l上的一个动点,则AM+CM的最小值为()A.6B.C.D.5
20.(2012?湛江)双曲线A.8x㧟9y=7

=1中,被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是(C.4x㧟9y=16
)D.不存在
B.8x+9y=25
21.(2011?天津)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y=2px的焦点的距离为4,且双曲线的)D.4
2
一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(㧟2,㧟1),则双曲线的焦距为(A.2B.2C.4
22.(2011?山东)已知双曲线
=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x+y㧟6x+5=0相切,且双曲线)C.=1D.=1
2
2
的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(A.B.=1
23.(2011?江西)如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方,其“底端”落在远点O处,一顶点及中心M在Y轴的正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成
今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置,应大致为()A.B.C.D.
24.(2010?重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线
25.(2010?福建)若点O和点F(㧟2,0)分别是双曲线
的中心和左焦点,点P为双曲线右
支上的任意一点,则A.
的取值范围为(B.
)C.D.
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www.jyeoo.com26.(2009?湖北)已知双曲线A.3B.的准线经过椭圆C.(b>0)的焦点,则b=(D.)
27.(2009?宁夏)双曲线A.2
㧟B.2
=1的焦点到渐近线的距离为(C.
)D.1
28.(2007?江西)设椭圆
=1(a>0,b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax+bx㧟c=0的两个根)B.圆x2+y2=2上D.以上三种情况都有可能
2
分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在(A.圆x2+y2=2内22C.圆x+y=2外
29.(2009?安徽)下列曲线中离心率为A.B.
的是(
)C.D.
30.2007?北京)(椭圆则该椭圆离心率的取值范围是(A.B.)
的焦点为F1,2,F两条准线与x轴的交点分别为M,若|MN|≤2|F1F2|,N,
C.
D.
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2013年5月12345670的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共30小题)1.半径为1的球面上有A、B、C三点,其中点A与B、C两点间的球面距离均为为A.,则球心到平面ABC的距离为(B.)C.D.,B、C两点间的球面距离均
考点:球面距离及相关计算.专题:计算题.分析:根据题意可知:球心O与A,B,C三点构成三棱锥O㧟ABC,且OA=OB=OC=R=1,∠AOB=∠AOC=90°,∠BOC=60°,故AO⊥BOC.所以此题可以根据体积法求得球心O到平面ABC的距离.面解答:解:球心O与A,B,C三点构成三棱锥O㧟ABC,如图所示,已知OA=OB=OC=R=1,∠AOB=∠AOC=90°,∠BOC=60°,由此可得AO⊥BOC.面
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..
∴VA㧟BOC=VO㧟ABC,得由故选B.
点评:本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离、三棱锥的结构等基础知识,考查运算求解能力,考查空间想象力.属于基础题.2.正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为2:3,则此三棱锥的高与斜高之比为()A.B.C.D.
考点:棱锥的结构特征.分析:利用侧面面积与底面面积之比为2:3,求出直角三角形中SE与OE之比,即可利用直角三角形中的三角关系,求得高与斜高之比解答:解:如图:AO⊥ABC,SE⊥面AB,∵ABC为正三角形,△∴CE=3OE
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侧面面积S△SAB=×AB×SE,底面面积S△ABC=×AB×CE=×AB×3OE∵一个侧面面积与底面面积之比为2:3
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www.jyeoo.com∴△SAB:S△ABC=S=,∴SE=2OE
∴在直角三角形SOE中,∠ESO=30°∴=cos30°=故选A
点评:本题考查了正三棱锥的线面关系,正三棱锥的侧面积,底面积,斜高与高间的关系,同底三角形面积之比的应用,属基础题3.已知α㧟l㧟β是大小为45°的二面角,C为二面角内一定点,且到半平面α和β的距离分别为别是半平面α,β内的动点,则△ABC周长的最小值为()A.B.C.15D.和6,A、B分
考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:证明题;转化思想;数形结合法.分析:解答本题要进行正确转化,可以作出C关于两个平面α,β对称点,分别点M,N,连接M,N,则线段MN的长度即为△ABC周长的最小值此时线段MN与两个平面的交点坐标分别为A,B解答:解:如图,作出C关于两个平面α,β对称点,分别点M,N,连接M,N,线段MN与两个平面的交点坐标分别为A,B则△ABC周长L=AB+AC+BC=AB+AM+BN=MN,由两点之间线段最短可以得出MN即为△ABC周长的最小值,下求此最小值即MN的长度,在△CMN中求解由已知C为二面角内一定点,且到半平面α和β的距离分别为和6,不妨令CA=和CB=6可得出CM=2,CN=120又α㧟l㧟β是大小为45的二面角,线段CM与线段CN与两个平面的交点即点C在两个平面上的垂足分别为Q,P,过点P作PO垂直两平面的交线于O,连接QO,则角POQ=45°,故可得角MCN=135°
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故MN=CM+CN㧟2×CN×CM×cos135°=8+144+48=200故MN=故选D
2
2
2
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点评:本题考点是与二面角有关的立体几何综合题,考查根据题目中所给的条件进行图形推理的能力,先利用位置关系作出所求的量,再根据图形中相关的位置关系求出线段的长度,是立体几何中常见的思路,先作图,证明,求值.4.如图,在正三棱柱ABC㧟A1B1C1中,AB=2,若二面角C㧟AB㧟C1的大小为60°,则异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:计算题.分析:取AB的中点D,连接CD,C1D,利用AB∥1B1,将异面直线A1B1和BC1所成角转化为异面直线AB和ABC1所成角,在△ABC1中解决.解答:
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解:如图
取AB的中点D,连接CD,C1D,则有CD⊥AB,C1D⊥AB,∴C1DC=60°,∠.在△ABC1中,
cos∠ABC1=
,∵A1B1,因此∠AB∥ABC1是直线A1B1与BC1所成的角或补角,
因此直线A1B1与BC1所成的角的余弦值是故选D.点评:本题考查正三棱柱的性质、二面角的意义及异面直线所成的角.解决的关键是将空间角化为平面角,在三角形当中去解决.
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www.jyeoo.com5.如图的正方体ABCD㧟A′C′中,二面角D′B′D′㧟AB㧟D的大小是()
A.30°考点:专题:分析:解答:
B.45°
C.60°
D.90°
与二面角有关的立体几何综合题.计算题.因为D′底面ABCD,故可由三垂线定理法作出二面角的平面角,即∠AD,直接求解即可.D⊥D′解:因为D′底面ABCD,D′AB,所以∠AD即为二面角D′D⊥A⊥D′㧟AB㧟D的平面角,因为∠AD=45°,D′所以二面角D′㧟AB㧟D的大小是45°.故选B点评:本题考查二面角的做法和求解,考查空间想象能力和运算能力.
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6.已知正方形ABCD沿其对角线AC将△ADC折起,设AD与平面ABC所成的角为β,当β取最大值时,二面角B㧟AC㧟D的大小为()A.120°B.90°C.60°D.45°考点:专题:分析:解答:与二面角有关的立体几何综合题.综合题.β最大为45°,此时平面ADC⊥平面ABC,二面角B㧟AC㧟D的大小为90°.解:β最大为45°,此时平面ADC⊥平面ABC.∴此时二面角B㧟AC㧟D的大小为90°.故选B.点评:本题考查与二面角有关的立体几何综合题,解题时要认真审题,注意培养空间思维能力.
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7.如图,为直二面角α㧟MN㧟β的棱MN上的一点,O射线OE,分别在α,内,EON=∠OFβ且∠FON=45°,EOF则∠的大小为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:计算题.分析:过棱ON上一点C分别在α,β平面内作棱的垂线CA,CB,连接AB,利用∠EON=∠FON=45°,可计算OA,
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www.jyeoo.comOB的长,利用α㧟MN㧟β为直二面角,可计算AB的长,从而问题可解.解答:解:过棱ON上一点C分别在α,β平面内作棱的垂线CA,CB,连接AB不妨假设OC=1,则∵EON=∠∠FON=45°,∴OA=OB=∵α㧟MN㧟β为直二面角,∴∴AOB=60°∠即∠EOF=60°故选C.点评:本题的考点是与二面角有关的立体几何综合题,主要考查计算线线角,关键是寻找二面角的平面角,利用直角三角形研究边的关系,属于基础题.8.如图,已知锐二面角α㧟l㧟β,A为α面内一点,A到β的距离为大小为(),到l的距离为4,则二面角α㧟l㧟β的
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:计算题.分析:过A作AO⊥垂足为O,AH⊥垂足为H,β作l,连接HO,AHO为锐二面角α㧟l㧟β的平面角,∠在直角△AHO中求解即可.解答:
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解:A作AO⊥垂足为O,AO=过β则
,AH⊥垂足为H,AH=4.作l,则连接HO,
?l⊥AOH,∴OH.∠面l⊥AHO为锐二面角α㧟l㧟β的平面角,在直角△AHO中,sin∠AHO==,∠AHO=60°.
故选C.点评:本题考查二面角的大小度量,考查转化、空间想象、计算能力.本题找出∠AHO为锐二面角α㧟l㧟β的平面角是关键.9.在直二面角α㧟l㧟β中,A∈α,B∈β,A,B都不在l上,AB与α所成角为x,AB与β所成角为y,AB与l所222成角为z,则cosx+cosy+sinz的值为()A.B.2C.3D.考点:与二面角有关的立体几何综合题.分析:根据题意,先分别作出AB与α所成角为x,AB与β所成角为y,AB与l所成角为z,再利用三角函数求解即可.解答:解:过A、B分别作AC⊥于C,BD⊥于D,过B作直线平行于l,过C作直线平行于BD,两直线交于E,ll连接AD、AC、AE.因α一l一β为直二面角,BD在β上,l=α∩β,BD⊥l,故BD⊥α.同理AC⊥β.
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www.jyeoo.com又∠BAD、∠ABC分别为AB与α、β所成的角,有∠BAD=x,∠ABC=y.又EC∥BD,EC⊥l,AC⊥β,有AE⊥l,AE⊥BE,∠EBA=z.∴x+cosy+sinz=cos
222
=2
故选B.点评:本题的考点是与二面角有关的立体几何综合,主要考查线面角,线线角,考查求三角函数的值,关键是正确找出相应的角.10.已知二面角α㧟l㧟β的大小为50°,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α,β所成的角都是25°的直线的条数为()A.2B.3C.4D.5考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:计算题.分析:利用线面角的概念及角平分线的性质,分析出所求直线二面角的平分面上,再根据线面角的大小变化确定出直线条数.解答:解:首先给出下面两个结论①两条平行线与同一个平面所成的角相等.②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上.
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图1.(1)如图1,过二面角α㧟l㧟β内任一点作棱l的垂面AOB,交棱于点O,与两半平面于OA,OB,AOB则∠为二面角α㧟l㧟β的平面角,∠AOB=50°设OP1为∠AOB的平分线,则∠1OA=∠1OB=25°,与平面α,β所成的角都是25°,此时过P且与OP1平行PP的直线符合要求,有一条.当OP1以O为轴心,在二面角α㧟l㧟β的平分面上转动时,OP1与两平面夹角变小,不再会出现25°情形.
图2.(2)如图2,设OP2为∠AOB的补角∠AOB′,则∠2OA=∠2OB=65°,与平面α,β所成的角都是65°.当PPOP2以O为轴心,在二面角α㧟l㧟β′的平分面上转动时,OP2与两平面夹角变小,对称地在图中OP2两侧会出现25°情形,有两条.此时过P且与OP2平行的直线符合要求,有两条.综上所述,直线的条数共有三条.故选B.点评:本题考查二面角、线面角的概念及度量.利用线面角的概念及角平分线的性质,得出所求直线的空间位置,线面角的大小变化是关键.考查空间想象、分析解决问题能力.
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www.jyeoo.com11.平面α与平面β相交成一个锐二面角θ,平面α上的一个圆在平面β上的射影是一个离心率为的椭圆,则θ等于(A.30°)B.45°C.60°D.75°
考点:与二面角有关的立体几何综合题;椭圆的定义.专题:计算题.分析:根据题意,设圆的半径为r,由题意可得b=r,根据离心率与a,c的关系可得a=b,
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r,所以cosθ=
=

所以θ=30°.解答:解:由题意可得:平面α上的一个圆在平面β上的射影是一个离心率为的椭圆,也可以说为:β上的一个离心率为的椭圆在α上的射影是一个圆,
设圆的半径为r,所以b=r,又因为所以cosθ=,并且b=a㧟c,所以a==,所以θ=30°.
222
r.
故选A.点评:本题以二面角为载体,考查与二面角有关的立体几何综合题,以及椭圆的性质,是解析几何与立体几何结合的一道综合题.12.正三棱锥P㧟ABC内接于半球O,底面ABC在大圆面上,则它相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为(A.B.C.D.)
考点:与二面角有关的立体几何综合题;棱锥的结构特征;球内接多面体.专题:计算题.分析:设半球的半径为单位1,从而可知正三角形ABC的边长,进而可以求出侧棱长,在侧面上以任一个底角为顶点做高,由此可求高长,从而利用余弦定理,可求相邻的两个侧面所成二面角的余弦值解答:解:由题意,设半球的半径为单位1,则正三角形ABC的边长为;三棱锥的高为1,所以侧边PA=PA=PC=;
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在侧面上以任一个底角为顶点做高,它的长度等于根据余弦定理,三角形的两边长为,底边为,
从而余弦值就是
即相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为故选D.点评:本题以半球为载体,考查正三棱锥,考查面面角,关键是作出面面角,从而利用余弦定理进行求解.13.已知E,F分别是正方体ABCD㧟A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()
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A.
B.
C.
D.
考点:专题:分析:解答:
与二面角有关的立体几何综合题.计算题;转化思想.
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因为D1D⊥ABCD,故可由三垂线定理法作出二面角的平面角,再求解.面解:因为D1D⊥ABCD,过D做DH⊥与H,连接D1H,则∠1HD即为截面AEFD1与底面ABCD所成面AED二面角的平面角,设正方体ABCD㧟A1B1C1D1的棱长为1,在△1HD中,D1D=1,因为△DDAH~△ABE,所以DH=
所以D1H=
,所以sin∠1HD=D
故选C点评:本题考查二面角的做法和求解、解三角形知识,考查空间想象能力和运算能力.14.正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为a,侧面与底面的二面角的平面角为β,则cosα+cosβ的值是()A.0B.2C.1D.
2
考点:专题:分析:解答:
与二面角有关的立体几何综合题.计算题.设正四棱锥S㧟ABCD的底面边长为a,侧棱长为b,作出两个二面角的平面角,求解即可.解:设正四棱锥S㧟ABCD的底面边长为a,侧棱长为b,过S做SE⊥与E,SO⊥AB底面ABCD与O,连
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EO,则∠SEO即为侧面与底面所成二面角的平面角,即为β,在三角形SEO中,SE=
2
,OE=,
所以cosβ=
2

过B做BH⊥与H,连CH,由△SASAB≌SAC,所以CH⊥△SC,则角BHC即为两个侧面所成的二面角的平面角,即a,
在△BCH中,BC=
2
,BH=CH=
,由余弦定理可得cosα=

所以cosα+cosβ=0故选A
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www.jyeoo.com点评:本题考查二面角的做法和求解、解三角形知识,考查空间想象能力和运算能力.15.PA、PB、PC两两垂直;②到△PABC三边的距离相等;③BC,PB⊥PA⊥AC;④PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等;⑤平面PBC、PAB、PAC与平面ABC所成的锐二面角相等;⑥PA=PB=PC;⑦PAB=∠∠PAC,∠PBA=∠PBC,∠PCB=∠PCA;⑧面PBO,AB⊥PCO.若在上述8个序号中任意取出两个作为条件,其中一个一定能得出OAC⊥面为△ABC的垂心、另一个一定能得出O为△ABC的外心的概率为()A.B.C.D.
考点:与二面角有关的立体几何综合题;等可能事件的概率;三角形五心;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.专题:计算题;证明题.分析:先跟据条件判断出八个命题中得出垂心的有三个,外心的有两个,内心的有三个,再代入等可能时间的概率计算公式即可得到答案.解答:解:对于①
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由PA⊥PB,PA⊥PC?PA⊥平面PBC?PA⊥BC,又PO⊥BC,?BC⊥平面PAO?BC⊥AO?O在BC边的高线上;同理:O在AC边的高线上,所以O为垂心.对于②:因为:PE=PF=PD?OD=OE=OF?O为三角形的内心.对于③:因为:PA⊥BC,PO⊥BC,?BC⊥平面PAO?BC⊥AO,O在BC边的高线上;同理:O在AC边的高线上,所以O为垂心.对于④:因为:∠PAO=∠PBO=∠PCO?AO=BO=CO?O为三角形的外心.对于⑤PEO=∠:∠PFO=∠PDO?OD=OE=OF?O为三角形的内心.对于⑥:PA=PB=PC?AO=BO=CO?O为三角形的外心.对于⑦PAB=∠:∠PAC?点P的射影在∠CAB的角平分线上;同理P的射影也在∠ABC的角平分线上;所以:O为三角形的内心.对于⑧:AC⊥PBO?AC⊥面PO,O在AC边的高线上,同理:O在BA边的高线上;所以O为垂心.即可以得出垂心的有三个,外心的有两个.所以:在上述8个序号中任意取出两个作为条件,其中一个一定能得出O为△ABC的垂心、另一个一定能得出O为△ABC的外心的概率P==.
故选:A.点评:本题是对立体几何知识以及三角形五心,等可能时间概率的计算等知识的综合考察.解决问题的关键在于得到八个命题中得出垂心的有三个,外心的有两个,内心的有三个.
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www.jyeoo.com16.一条长为10厘米的线段两端分别在一个直二面角的两个平面内,且与二面角的两个面所成角的正弦值分别为和,则这条线段在这个直二面角的棱上的射影长为()
A.
B.
C.
D.7cm
考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:计算题.分析:根据题意,结合图形,可知AB=10厘米,
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,从而可求线段在这个直二面
角的棱上的射影长解答:解:由题意如图,AB=10厘米,∴=5cm,A′BB′B=8cm在直角三角形A′B中,B′故选B.
点评:本题以直二面角为载体,考查了直线与平面所成角的求法,做题时要先找到到角,再放入三角形中去解.17.(理科做)如右图,多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB1C1D1而截得的,BB1=DD1,且已知截面AB1C1D1与底面成30°的二面角,AB=1,则这个多面体的体积为()
A.
B.
C.
D.
考点:与二面角有关的立体几何综合题;棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:计算题;综合题.分析:作D1E∥DC,连接B1D1,B1E,BD,则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱,分别求出两个棱锥与一个棱柱的体积,即可得多面体的体积解答:解:作D1E∥DC,连接B1D1,B1E,BD,则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱
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www.jyeoo.com∵截面AB1C1D1与底面成30°的二面角,∴CAC1=30°∠∵AB=1∴∴,∴
∴多面体的体积为故选D.
点评:本题以多面体为载体,考查几何体的体积,关键是将几何体进行分割,利用规则几何体的体积公式求解.18.如图,已知平面α⊥平面β,A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA?β,CB?β,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,在平面α内有一个动点P,使得∠APD=∠BPC,则△PAB的面积的最大值是()
A.12
B.24
C.32
D.48
考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:综合题;数形结合;函数思想;转化思想;数形结合法.分析:本题在二面角背景下求三角形的面积,需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征,再由面积公式求出面积,由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形,根据题设条件可得出PB=2PA,作PD⊥AB,垂足为D,令AD=t,将三角形的面积用t表示出来,再研究面积的最值选出正确选项解答:解:由题意平面α⊥平面β,B是平面α与平面β的交线上的两个定点,A、DA?β,CB?β,DA⊥CB⊥且α,α,∴PAD与△△PBC是直角三角形,又∠APD=∠BPC,∴PAD∽PBC,又AD=4,BC=8,△△∴PB=2PA作PM⊥AB,垂足为M,令AM=t∈R,在两个Rt△PAM与Rt△PBM中,AM是公共边及PB=2PA2222∴㧟t=4PA㧟(6㧟t)PA2解得PA=12㧟4t
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∴PM=
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www.jyeoo.com∴×AB×PM=×6×S==3=≤12
即三角形面积的最大值为12故选A点评:本题考查与二面角有关的立体几何综合题,解答本题,关键是将由题设条件得出三角形的性质、:两邻边的值有2倍的关系,第三边长度为6,引入一个变量,将面积表示成此变量的函数,从而利用函数的最值来研究面积的最值,本题考查了函数最值的思想,转化的思想,数形结合的思想,本题解题过程中将几何问题转化为代数问题求解是几何问题中求最值的常规思想,在近几年的高考中此类题多有出现,本题易因为没有能建立起面积的函数而导致解题失败19.二面角α㧟l㧟β的平面角为120°,在面α内,AB⊥于B,AB=2在平面β内,CD⊥于D,CD=3,BD=1,Mll是棱l上的一个动点,则AM+CM的最小值为()A.6B.C.D.5考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:综合题.分析:要求出AM+CM的最小值,可将空间问题转化成平面问题,将二面角展开成平面中在BD上找一点使AM+CM即可,而当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值,从而求出对角线的长即可.解答:解:将二面角α㧟l㧟β平摊开来,即为图形当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值,最小值即为对角线AC而AE=5,EC=1故AC=.故选C.
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点评:本题主要考查了平面的翻折问题,同时考查了将空间问题转化成平面问题的能力,对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
20.(2012?湛江)双曲线A.8x㧟9y=7

=1中,被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是(C.4x㧟9y=16
)D.不存在
B.8x+9y=25
考点:直线与圆锥曲线的关系;中点坐标公式.专题:计算题.分析:检验线直线方程为x=2,是否符合题意,然后设直线与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法求出直线方程后,代入检验所求直线与已知曲线是否相交解答:解:当直线的斜率k不存在时,直线方程为x=2,直线被双曲线所截线段的中点为(2,0),不符设直线与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)
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把A,B代入到曲线方程且相减可得,由题意可得,x1+x2=4,y1+y2=2∴=
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www.jyeoo.com直线的方程为y㧟1=(x㧟2)
联立
可得8x㧟112x+373=0,此时△<0即方程没有实数解
2
∴所求直线与已知曲线没有交点故选D点评:本题主要考查了点差法在求解直线与曲线相交关系中的应用,学生用“点差法”求出直线方程漏掉检验用“△”验证直线的存在性是导致本题出现错误的最直接的原因
21.(2011?天津)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y=2px的焦点的距离为4,且双曲线的)D.4
2
一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(㧟2,㧟1),则双曲线的焦距为(A.2B.2C.4
考点:双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的关系.专题:计算题.分析:根据题意,点(㧟2,㧟1)在抛物线的准线上,结合抛物线的性质,可得p=4,进而可得抛物线的焦点坐标,依据题意,可得双曲线的左顶点的坐标,即可得a的值,由点(㧟2,㧟1)在双曲线的渐近线上,可得渐近线方程,进而可得b的值,由双曲线的性质,可得c的值,进而可得答案.解答:解:根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(㧟2,㧟1),
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即点(㧟2,㧟1)在抛物线的准线上,又由抛物线y=2px的准线方程为x=㧟,则p=4,则抛物线的焦点为(2,0);则双曲线的左顶点为(㧟2,0),即a=2;点(㧟2,㧟1)在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为y=±x,由双曲线的性质,可得b=1;则c=,则焦距为2c=2;故选B.点评:本题考查双曲线与抛物线的性质,注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(㧟2,㧟1)”这一条件的运用,另外注意题目中要求的焦距即2c,容易只计算到c,就得到结论.
2
22.(2011?山东)已知双曲线
=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x+y㧟6x+5=0相切,且双曲线)C.=1D.=1
2
2
的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(A.B.=1
考点:圆与圆锥曲线的综合.专题:综合题;转化思想.分析:由题意因为圆C:x2+y2㧟6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0),利用双曲线的右焦点为圆C
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www.jyeoo.com的圆心及双曲线的标准方程建立a,b的方程.再利用双曲线
22
=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和
圆C:x+y㧟6x+5=0相切,建立另一个a,b的方程.解答:解:因为圆C:x2+y2㧟6x+5=0?(x㧟3)2+y2=4,由此知道圆心C(3,0),圆的半径为2,又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线
22
=1(a>0,b>0)a+b=9①,∴又双曲线
2
2
=1(a>0,b>0)?bx±ay=0,
的两条渐近线均和圆C:x+y㧟6x+5=0相切,而双曲线的渐近线方程为:y=

连接①得②
所以双曲线的方程为:

故选A.点评:此题重点考查了直线与圆相切的等价条件,还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题.23.(2011?江西)如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方,其“底端”落在远点O处,一顶点及中心M在Y轴的正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成
今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置,应大致为()A.B.C.D.
考点:圆锥曲线的轨迹问题.专题:作图题;综合题;压轴题.分析:解答本题宜用排除法,本题中图形的中心M到三个顶点的距离最远,到三段弧的中点的距离最近,随着凸轮的滚动,M点离X轴的距离由小变大再由大变小,作周期性的变化,由图形可以看出,三角形的三个顶点到相对弧的中点位置是相等的,故当M在最高点与最低点时,凸轮最高点到X轴的距离相等,由这些特征即可排除错误选项.解答:解:根据中心M的位置,可以知道中心并非是出于凸轮最低与最高中间的位置,而是稍微偏上,随着转动,M的位置会先变高,当C到底时,M最高,排除CD选项,而对于最高点,当M最高时,最高点的高度应该与旋转开始前相同,因此排除B,故选A点评:本题考点是圆锥曲线的问题,考查根据实物的特征,探究其上某一点的位置变动规律,由此得出其轨迹的大体形状,本题轨迹方程不易求出,直接求解有困难,故根据其变化特征选择用排除法求解,做题时要根据题设条件的特征选择合适的方法解题.
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24.(2010?重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()
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www.jyeoo.comA.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线
考点:抛物线的定义;双曲线的标准方程.专题:计算题;分类讨论.分析:先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为x轴,公垂线与x轴交点为原点,公垂线所在直线为z轴,过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面,建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程可得,设空间内任意点设它的坐标是(x,y,z)根据它到两条异面直线的距离相等,求得z的表达式,把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系,根据其方程判断轨迹.解答:解:先做出两条一面直线的公垂线,以其中一条直线为x轴,公垂线与x轴交点为原点,公垂线所在直线为z轴,过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面,建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程就分别是y=0,z=0和x=0,z=a(a是两异面直线公垂线长度,是个常数)空间内任意点设它的坐标是(x,y,z)那么由已知,它到两条异面直线的距离相等,即
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=两边平方,化简可得z=(y㧟x+a)
222
过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a分别代入所得式子z=0时222代入可以得到y㧟x=㧟a,图形是个双曲线z=a时222代入可以得到y㧟x=a,图形也是个双曲线故选D点评:本题主要考查了双曲线的方程.考查了学生分析归纳和推理的能力.
25.(2010?福建)若点O和点F(㧟2,0)分别是双曲线
的中心和左焦点,点P为双曲线右
支上的任意一点,则A.
的取值范围为(B.
)C.D.
考点:双曲线的简单性质;平面向量数量积的运算.专题:计算题.分析:先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a,则双曲线的方程可得,设出点P,代入双曲线方程求得y0的表达
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式,根据P,F,O的坐标表示出则的取值范围可得.
,进而求得
的表达式,利用二次函数的性质求得其最小值,
解答:解:因为F(㧟2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a+1=4,即a=3,所以双曲线方程为设点P(x0,y0),则有,解得,
22

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www.jyeoo.com因为,,
所以
=x0(x0+2)+,
=

此二次函数对应的抛物线的对称轴为因为所以当故,时,的取值范围是取得最小值,
=

故选B.点评:本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力.
26.(2009?湖北)已知双曲线A.3B.
的准线经过椭圆C.
(b>0)的焦点,则b=(D.

考点:椭圆的标准方程;圆锥曲线的综合.专题:计算题.分析:先根据双曲线的方程求得双曲线的准线方程,根据椭圆的方程求得焦点,代入双曲线的准线方程求得b.解答:解:依题意可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为
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所以有
.即b=3故b=
2

故选C.点评:本题主要考查了椭圆和双曲线的简单性质,椭圆的标准方程.考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握.
27.(2009?宁夏)双曲线A.2
㧟B.2
=1的焦点到渐近线的距离为(C.
)D.1
考点:双曲线的简单性质.专题:常规题型;计算题.分析:先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程,进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离.解答:
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解:双曲线

=1的焦点为(4,0)或(㧟4,0).
渐近线方程为y=x或y=㧟x.由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d=故选A.
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=2

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www.jyeoo.com点评:本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的简单性质和点到直线的距离公式.考查了考生对双曲线标准方程的理解和灵活应用,属基础题.
28.(2007?江西)设椭圆
=1(a>0,b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax+bx㧟c=0的两个根)B.圆x2+y2=2上D.以上三种情况都有可能
2
分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在(A.圆x2+y2=2内22C.圆x+y=2外
考点:椭圆的应用.专题:计算题.分析:22先根据x1+x2=㧟,x1x2=㧟表示出x1+x2,再由e==得到a与c的关系,从而可表示出b与c的关系,
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然后代入到x1+x2的关系式中可得到x1+x2的范围,从而可确定答案.解答:解:∵1+x2=㧟,x1x2=㧟x
222
2
2
2
2
x1+x2=(x1+x2)㧟2x1x2=e==∴a=2cb=a㧟c=3c
222222
所以x1+x2=
<2
所以在圆内故选A.点评:本题主要考查椭圆的基本性质的应用.考查对椭圆基础知识的综合应用.
29.(2009?安徽)下列曲线中离心率为A.B.
的是(
)C.D.
考点:双曲线的简单性质.专题:计算题.分析:
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通过验证法可得双曲线的方程为解答:解:选项A中a=选项B中a=2,c=选项C中a=2,c=选项D中a=2,c=,b=2,c=,则e=,则e=则e==
时,,e=排除.

符合题意不符合题意,不符合题意
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www.jyeoo.com故选B点评:本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了双曲线方程中利用,a,b和c的关系求离心率问题.
30.2007?北京)(椭圆则该椭圆离心率的取值范围是(A.B.)
的焦点为F1,2,F两条准线与x轴的交点分别为M,若|MN|≤2|F1F2|,N,
C.
D.
考点:椭圆的简单性质.专题:综合题.分析:根据准线方程公式,由椭圆的方程可得y=±
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,表示出|MN|的长,又|F1F2|=2c,所以把|MN|和|F1F2|的长分
别代入|MN|≤2|F1F2|,化简后即可求出e的范围,然后根据a大于c得到e小于1,两者求出交集即可得到椭圆离心率的取值范围.解答:解:因为椭圆的准线方程为y=±则由|MN|≤2|F1F2|,得到,所以|MN|=;又|F1F2|=2c,,又a>c,所以e<1,
≤4c,即,1).
≥,即e=≥
则该椭圆离心率的取值范围是[
故选D点评:此题考查学生掌握椭圆的准线方程的求法,以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值,是一道综合题.
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